Un coseno de (&) para valores de (&) menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triangulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida (&) radianes. Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizara entonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán las funciones trigonométricas seno y coseno como la abscisa y la ordenada, respectivamente, de un punto P perteneciente a la circunferencia, siendo (&) el angulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.
Para definir las funciones trigonométricas del angulo: &, del vértice A, se parte de un triangulo rectángulo arbitrario que contiene a este angulo. el nombre de los lados de este triangulo que se usara en lo sucesivo sera:
La Hipotenusa (h) es el lado opuesto de angulo recto, o lado de mayor longitud del triangulo rectángulo.
El Cateto Opuesto (a) es el lado opuesto al angulo &.
El Cateto Adyacente (b) es el lado adyacente del angulo &.
Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango.
El SENO de un angulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
El COSENO de un angulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
La TANGENTE de un angulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
La COTANGENTE de un angulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
La SECANTE de un angulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
La COSECANTE de un angulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
Las razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triangulo rectángulo asociados a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triangulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria. Definiciones mas modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las ultima cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geometricamente o por medio de sus relaciones.
Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así por ejemplo, una tablilla babilónica escrita en cuneiforme, denominada plimpton 322. Muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas Los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triangulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides Posteriormente se desarrollo mas con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y las posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios. El estudio de la trigonometria paso después a Grecia donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Mas tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las matemáticas.
